Исследование функции: чётность, монотонность, точки экстремума, обратная функция.

Исследование функции

Исследование функции - это задача, заключающаяся в определении основных параметров заданной функции. Вообще, это информация, помогающая узнать больше о функции, представить примерно (а затем, может быть, и точно) её график.

У функций есть достаточно много интересных свойств, многое говорящих об их природе.

Отдельно следует упомянуть и кратко пояснить основные моменты при любой работе с функциями: всегда в первую очередь следует определить область определения D(x) (в отечественных учебниках для российских школьников обычно обозначается D(y)) и облать значений E(y).

Область определения заданной функции есть множество точек, на котором задаётся функция, в каждой точке которого значение функции должно быть определено. Обозначение: D(x).

Область значений заданной функции есть множество, состоящее из всех значений, которые может принимать функция. Обозначение: E(y).

Одной из наиболее важных задач всегда является нахождение нулей функции: корней уравнения ƒ(x)=0, где ƒ(x) - исследуемая функция (мест, где график функции пересекает Ox).

Также следует бегло указать, что иногда ищут промежутки знакопостоянства - промежутки, где знак функции не меняется. Промежуток знакопостоянства (обычно интервал) – это промежуток, *в каждой точке которого* функция положительна либо отрицательна (см. числовые промежутки).

Значения функции можно расписать: положительны при значениях аргумента в данных промежутках, отрицательны при значении аргумента в данных промежутках, функция обращается в ноль при аргументе равном... Это тоже важная часть исследования (которую очень удобно делать уже по готовому графику).

Чётность

Чётность/нечётность - это свойство, которым обладают функции. Функции могут быть чётными, нечётными, но основная масса является ни чётными, ни нечётными.

Чётные функции

Чётные функции - это функции, у которых противоположным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции: ƒ(x)=ƒ(-x).

Чётные функции обладают рядом важных свойств.

Область определения чётной функции симметрична относительно 0. (Иначе говоря, если x∈D(x), то -x∈D(x))
∀x∈D(x) ƒ(x)=ƒ(-x) (согласно определению).
График функции симметричен относительно оси ординат.

Примером чётной функции могут служить модульная, квадратичная.

Нечётные функции

Нечётные функции - это функции, у которых значению функции с противоположным аргументом соответствует значение, противоположное функции с изначальным аргументом: ƒ(-x)=-ƒ(x).

Нечётные функции (как и чётные) обладают рядом важных свойств.

Область определения нечётной функции симметрична относительно 0. (Иначе говоря, если x∈D(x), то -x∈D(x))
∀x∈D(x) ƒ(-x)=-ƒ(x) (согласно определению).
График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Примером нечётной функции будет служить функция обратной пропорциональности, кубическая и т.д.

Ни чётные, ни нечётные функции

Зная, что функция является чётной или нечётной, с ней очень приятно и удобно работать. Однако, большинство функций таковыми не являются.

Ни чётными, ни нечётными являются все остальные функции, не подпадающие под определение чётной и нечётной.

Думаю, здесь с примером проблем нет. Например, функция квадратного корня здесь уже обсуждалась.

Монотонность

График той или иной функции может быть не только симметричным относительно определённой точки или прямой, но также и убывающим или возрастающим. Убывает и возрастает функция на определённых промежутках. Монотонность функции - это её возрастание/убывание на данном промежутке.

Убывание (строгое) на промежутке

Говорят, функция ƒ(x) является (строго) убывающей на промежутке X, когда ∀x₁<x₂∈X ƒ(x₂)-ƒ(x₁)>0.

Возрастание (строгое) на промежутке

Говорят, функция ƒ(x) является (строго) убывающей на промежутке X, когда ∀x₁<x₂∈X ƒ(x₂)-ƒ(x₁)<0.

Соответственно, также как и чётные/нечётные функции обладают важными и удобными при работе с ними свойствами, так и строго монотонная функция представляет интерес. Строго монотонными называют функции между упорядоченными множествами, которые либо сохраняют, либо инвертируют отношение порядка. У них есть много полезных свойств.

На самом деле, при обсуждении монотонных функций можно говорить о более общем понятии просто (а не строго) монотонных функций. Итак, в целом, монотонная функция ƒ - это функция, приращение которой Δƒ=ƒ(x′)-ƒ(x) при Δx=x′-x>0 не меняет знака. Ещё лучше, если в дополнение приращение Δƒ не равно 0, тогда это и есть наиболее интересная строго возрастающая функция, обсуждающаяся выше.

Также следует заметить: если брать типом числового промежутка при определении возрастания/убывания интервал (так обычно и следует делать), то в случае, когда в концах промежутка функция оказывается определённой и непрерывной, концы также можно включить в промежуток - это не противоречит определению возр./уб. на промежутке.

За примерами монотонных (строго) функций не нужно далеко ходить: та же функция квадратного корня или совсем элементарная y=x - возрастающие, а убывающей будет, например, y=-x (по предыдущей ссылке объясняется почему).

И под конец о полезном: строго монотонные функции имеют некоторые свойства (что и так очевидно), помогающие решать уравнения и неравенства. Например, ясно, что график возрастающей/убывающей функции ƒ(x) может лишь раз пересечь ось абсцисс (не может пересечь её более чем в одной точке), отсюда следует, что уравнение ƒ(x)=0 имеет не более одного действительного корня. Если же этот корень удалось вычислить, то можно без труда решить неравенства ƒ(x)< и ƒ(x)>0. Следует отметить, что при неудачной попытке определения точного значения нуля функции (корня) возможно по теореме Больцано-Коши (о нуле непрерывной функции) найти достаточно узкий отрезок, этот корень содержащий. Также, если имеется уравнение вида h(x)=g(x)⇔h(x)-g(x)=0, где y=g(x) и y₁=h(x) задают возрастающую и убывающую функции от переменной x (y: X∈ℝ→Y∈ℝ; y₁: Z∈ℝ→V∈ℝ), то оно тоже, очевидно, имеет в лучшем случае лишь один корень на поле действительных чисел (если, конечно, их области значений и определений, графики вообще пересекаются).

Точки экстремума

Экстремум (от лат. крайний) - это максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Далее речь пойдёт о локальных экстремумах на заданных промежутках - их у функции может быть любое количество. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, существуют точки максимума и минимума. Необходимо также заметить, что функция может и не иметь ни одного локального или абсолютного экстремума.

Минимум

x₀∈D(x) является точкой локального минимума функции ƒ(x), если существует такая проколотая окрестность $\dot{U_{ε}} (x_{0})$ :=[x₀-ε;x₀+ε]\{x₀}, для которой верно следующее: ∀x∈ $\dot{U_{ε}} (x_{0})$ ƒ(x)>ƒ(x₀).

Максимум

x₀∈D(x) является точкой локального максимума функции ƒ(x), если существует такая проколотая окрестность $\dot{U_{ε}} (x_{0})$ :=[x₀-ε;x₀+ε]\{x₀}, для которой верно следующее: ∀x∈ $\dot{U_{ε}} (x_{0})$ ƒ(x)<ƒ(x₀).

Кроме локальных минимумов и максимумов есть также абсолютные (глобальные), представляющие особый интерес - абсолютный экстремум является максимумом или минимумом не просто для какой-то окрестности, но для всей области определения функции.

Далее также следует, конечно, указать, что выше обсуждаются именно строгие экстремумы, но их также можно задать и нестрого (см. числовые неравенства).

И опять же: знание абсолютных максимумов/минимумов (да и локальных) очень полезно - оно позволяет сразу утверждать о рамках значения функции.

Функция, обратная данной

Теперь, обсудив все характерные и основные моменты исследования функции, можно перейти к достаточно интересному необязательному моменту: для данной функции можно определить обратную.

Функция квадратного корня, квадратная функция — Пример обратной функции. Функция `x` = √`y` и обратная ей функция `y` = `x`², где x≥0

Обратная функция - это функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Обратная функция должна удовлетворять 3 условиям. Функция g(x) является обратной к функции ƒ(x) при выполнении следующих условий:

D(g)=E(ƒ) Область определения g(x) совпадает с областью значений ƒ(x).
E(g)=D(ƒ) Область значений g(x) совпадает с областью определения ƒ(x).
Если ƒ(x₀)=y₀, то g(y₀)=x₀. Eсли функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x.

Для решения самой задачи нахождения обратной функции необходимо решить уравнение y=ƒ(x) относительно x. Эту задачу можно решить только для обратимых функций. Если уравнение имеет более чем один корень, то функции, обратной к ƒ(x) не существует. Таким образом, функция ƒ(x) обратима на интервале (a;b) тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.

С примером взаимнообратных функций уже можно было столкнутся ещё здесь. А вот квадратичная функция - не биекция (взаимно-однозначное отображение), поэтому для неё нет обратной. Также функция sin x не является обратимой. А ещё примерами обратимых будет кубическая функция и т.д.

Обратную функцию можно обозначить ƒ^-1.

Возвращаясь к задачи нахождения обратной функции, первые два пункта, определяющие основные свойства обратной функции, очень важны - при её нахождении всегда следует проверять область определения и область значений.

Последнее очень полезное и удобное свойство взаимнообратных функций: пусть ƒ: X⊂ℝ→Y⊂ℝ - биекция, и тогда пусть ƒ^-1: Y→X - обратная ей функция, тогда графики функций y=ƒ(x) и y=ƒ^-1(x) симметричны относительно прямой y=x.

Пожалуй, о пользе обратной функции можно и не говорить: возможность обратить зависимость часто бывает очень полезна или даже необходима. Также обратные функции можно использовать, чтобы решать уравнения вида y=ƒ(x), где ƒ(x) - обратимая функция.