Дробно-рациональные уравнения

Для многих задач требуется решение уравнений - например, квадратных, но также часто встречаются пропорции и другие дробно-рациональные уравнения.

Дробно-рациональные уравнения - это подвид рациональных уравнений (состоящих из рациональных выражений). Если хотя бы одна из частей рационального уравнения является дробным выражением (алгебраическая дробь), то такое уравнение называется дробно-рациональным (или дробным рациональным).

Посторонние корни

Так как в дробно-рациональных уравнениях присутствует алгебраическая дробь в том или ином виде, то появляются значения, при которых уравнение не имеет смысла - алгебраическая дробь предполагает деление, а деление на 0 не определено. Выходит, появляется область допустимых значений для переменной, а если возможное решение уравнения находится за границами этого множества (этой области), то оно не является решением, хотя и может казаться таковым - оно является посторонним корнем. Они часто возникают при любых способах решений дробно-рациональных уравнений, поэтому при их решении прежде всего требуется определить ОДЗ переменной. Следует также добавить, что при работе с функциями и построении их графиков область допустимых значений переменной - область определения функции тоже следует определять в первую очередь (и не только во время полного исследования функции). ВСЕ недопустимые значения будут выколотыми точками на графике - в них функция не существует. Поэтому о выколотых точках всегда следует помнить при работе с функцией обратной пропорциональности (о которой речь пойдёт позже).

Решение дробно-рациональных уравнений

Что же касается самого решения дробно-рациональных уравнений, можно привести наиболее надёжный и рациональный вариант.

1. Определить ОДЗ переменных.
2. Перенести всё в левую сторону так, что справа останется 0 (конечно, не забыв сменить знак).
3. Свести всё в одну дробь (провести необходимые преобразования для сведения уравнения к виду p(x)/q(x)=0, где p(x) и q(x) - многочлены).
4. Откинуть знаменатель и приравнять числитель к нулю (так как дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен 0). Далее решить получившееся уравнение.
5. Взять корни уравнения, находящиеся в ОДЗ (выявление и исключение посторонних корней).

Функция обратной пропорциональности

Теперь после рассмотрения дробно-рационального уравнения логично рассмотреть более общее понятие дробно-рациональной функции и понятие функции обратной пропорциональности.

Функция обратной пропорциональности - это функция равная числу обратному аргументу функции прямой пропорциональности: функция и аргумент у функции обратной пропорциональности являются обратными числами.

Но на самом деле, это самый простой случай. В целом, обратной пропорциональностью называют любую функцию, которую задают формулой ƒ(x)=k/x, где x - независимая переменная (аргумент), k - не равное нулю число (коэффициент пропорциональности). Любым противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции - если график никуда не сдвигать и говорить именно об обратной пропорциональности, то график симметричен относительно начала координат.

Для всех обратных пропорциональностей верно следующее: их графиком является коническое сечение - гипербола, которая находится в двух координатных четвертях (в I и III или, если коэффициент пропорциональности отрицателен, во II и IV).

Об этой функции можно многое сказать в общем, но удобнее будет отдельно рассмотреть её свойства с положительным и отрицательным коэффициентом (начиная с положительного).

При положительном k значения аргумента и функции имеют один знак. Если x>0 и x→+∞, то y→0; если x>0 и x→0, то y→+∞. Если x<0 и x→-∞, то y→0; если x<0 и x→0, то y→-∞.

При отрицательном k можно утверждать, что происходит умножение функции на -1 (см. элементарные преобразования графиков функций) - отражение графика относительно Oy со всеми вытекающими изменениями: значения аргумента и функции имеют противоположный знак. Если x<0 и x→+∞, то y→0; если x>0 и x→0, то y→-∞. Если x<0 и x→-∞, то y→0; если x<0 и x→0, то y→+∞.

Зная график функции y = x^-1 – ƒ(x), можно с лёгкостью построить график любой функции y₁=k/x, используя элементарные преобразования графиков. Зная их, можно легко понять, что коэффициент обратной пропорциональности отвечает за сжатие/растяжение графика.

Также следует отметить, что в графике всё той же функции ƒ(x) оси графика (абсцисса и ордината) являются асимптотами гиперболы. Асимптоты - это линии (прямые), расстояние от точки кривой до которых стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Интересным фактом является то, что среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы.

При работе с подобными функциями есть горизонтальная и вертикальная асимптоты. Если производить преобразования функции, то асимптоты сдвигаются соответственно, и их нужно вычислять для построения.