Неравенства, связывающие среднее арифметическое и среднее геометрическое двух неотрицательных чисел. Простейшие неравенства с модулем, их геометрическая интерпретация.

Опорные неравенства

При доказательстве и решении неравенств есть множество разных нюансов, теорем и часто используемых (опорных) неравенств. И верно: допустим, неравенство |x|<a, где a≥0, применяется очень часто, и необходимо понимать, что оно из себя представляет, и как раскрыть модуль, но об этом позже.

Смысл в том, что при решении неравенств есть некоторые полезные соотношения, которые неплохо знать заранее, и на которые можно опереться при определении знака в неравенстве и т.д. - их тогда условно можно называть опорные неравенства. Итак, есть большое количество достаточно известных неравенств, таких как неравенства, связывающие средние.

Именно при сравнении двух чисел и средних двух чисел достаточно интересны и просты в доказательстве, например, неравенства, связывающие среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое двух неотрицательных чисел. Они, очевидно, является частным случаем теоремы о средних. Здесь следует разобраться в терминах. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (в общем виде, и здесь не подразумевается других средних - только два названных) - это неравенство Коши (не путать с неравенством Коши-Буняковского - эквивалентом неравенства треугольника для нормы; надо также добавить, что термин неравенство Коши весьма неоднозначен, поэтому лучше не использовать названия неравенств со средними, а чётко указывать, о чём идёт речь). Далее, неравенство Коши - частный случай того, что иногда называют неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (куда входят все наиболее распространённые средние). А это неравенство (в свою очередь) является частным случаем неравенства о средних (связывающем любые два средних). На самом деле, по правде говоря, само неравенство о средних (и все его частные случаи и вариации) вытекает из теоремы о (взвешенных) степенных средних. Но уже для всей правды началось всё именно с неравенства Коши.

Также, если кто-то не знает, среднее арифметическое, среднее гармоническое и среднее геометрическое - пифагорийские средние, меры центральной тенденции, крайне часто используемые в математике и статистике. Частный случай взвешенного степенного среднего порядка (степени) x для a₁...a_n чисел с весами p₁...p_n. Это особые величины, служащие для описания множества значений лишь одним единственным числом.

Итак, среднее арифметическое в общем случае вычисляется по формуле: $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = \frac{1}{n} (x_{1} + \dots + x_{n})$ (иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, деленная на n). Это среднее порядка 1. Оно используется наиболее часто.

{\bar{x}}_{arithm} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = \frac{1}{n} (x_{1} + \dots + x_{n})

Среднее геометрическое вычисляется по формуле: ${\bar{x}}_{geom} = {(\prod_{i = 1}^{n} x_{i})}^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_{1} \cdot\cdot\cdot x_{n}}$ (иначе говоря: средним геометрическим n чисел является корень n-ой степени из произведения этих чисел). Это среднее степенное порядка 0. Именно среднее геометрическое двух чисел (√a₁a₂), о котором дальше и пойдёт речь, можно также называть средним пропорциональным. Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического (оно находится между ними в последовательности средних). Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось - этим очень удобно пользоваться.

{\bar{x}}_{geom} = {(\prod_{i = 1}^{n} x_{i})}^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdot\cdot\cdot x_{n}}

И наконец, последнее из основных здесь разбираемых средних - среднее гармоническое. Среднее гармоническое вычисляется по формуле: $A_{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + \cdot\cdot\cdot + \frac{1}{x_{n}}} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}}} = \frac{n \prod_{j = 1}^{n} x_{j}}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{\prod_{j = 1}^{n} x_{j}}{x_{i}}}$ (иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных). Среднее гармоническое является средним степени −1. В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.

{\bar{x}}_{garmon} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}}} = \frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + \dots + \frac{1}{x_{n}}}

Для приличия следует также сказать хотя бы: среднее квадратическое (квадратичное) - число, равное квадратному корню из среднего арифметического квадратов данных чисел (среднее степенное степени 2).

Три средних, о которых говорилось выше, связаны данной цепочкой неравенств (всё для простоты будет доказываться лишь для 2 чисел):

\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}

Начну с доказательства

\sqrt{a \times b} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}

Для доказательства можно воспользоваться методом оценки знака разности (рассматривается для положительных a и b; на самом деле, не все средние могут быть заданы для отрицательных чисел и нуля, что можно понять уже по их формулам, поэтому говоря о подобном неравенстве следует явно говорить лишь о положительных числах).

◽ \sqrt{a b} - \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \sqrt{a b} - \frac{2 a b}{a + b} = \frac{a \sqrt{a b} + b \sqrt{a b} - 2 a b}{a + b} = \frac{\sqrt{a b} (a + b - 2 \sqrt{a b})}{a + b} = \frac{\sqrt{a b} {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2}}{a + b}, где (a + b) > 0; \sqrt{a b} > 0; {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0 (всегда - как квадрат) ∴ всё выражение больше или равно 0 ◽

Теперь можно доказать

\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}

(неравенство Коши - но только для 2 чисел)

◽ \sqrt{a b} - \frac{a + b}{2} = \frac{2 \sqrt{a b} - a - b}{2} = - \frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2}}{2} выражение меньше или равно 0 ◽

Далее это неравенство можно расширить, добавив, допустим, среднее квадратическое. Можно тогда доказать

\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \geq \frac{a + b}{2}

Можно опять воспользоваться методом оценки знака разности, но с небольшим изменением, так как, чтобы оценить числитель получившегося выражения, потребуется сравнить два других, из которого оно состоит, чтобы понять знак.

\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} - \frac{a + b}{2} = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{a + b} \times \sqrt{a + b}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2 (a^{2} + b^{2})} - \sqrt{a + b} \sqrt{a + b}}{2} рассмотрим числитель отдельно...

Теперь, чтобы доказать, что разность больше нуля, нужно сравнивать уменьшаемое и вычитаемое (первое, соответственно, должно быть больше другого).

\begin{matrix} ◽ \sqrt{2 (a^{2} + b^{2})} \lor {(\sqrt{a + b})}^{2} \\ \sqrt{2 (a^{2} + b^{2})} \lor \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 a b} (оба положительны) \\ 2 a^{2} + 2 b^{2} \lor a^{2} + b^{2} + 2 a b | - 2 a b \\ 2 (a^{2} + b^{2} + a b) > a^{2} + b^{2} \\ ∴ исходное тоже больше ◽ \end{matrix}

Затем в цепочку неравенств можно добавить средние степеней ±∞ - максимум и минимум. С максимальным и минимальным значением доказать неравенства достаточно просто.
Пусть среди двух чисел одно больше другого (на самом деле, лучше взять - больше другого на c, где c может быть равно 0, и тогда неравенство становится равенством), тогда b = a + c, и max(a, b) = a + c и ∴ max(a, b) ≡ max(a, a+c) (позже также можно поступить и с минимумом). Для доказательства просто воспользуемся свойствами неравенств и сведём к элементарному.

\begin{matrix} \sqrt{\frac{a^{2} + a^{2} + c^{2} + 2 \times a \times c}{2}} \lor \max (a, a + c) \\ \sqrt{\frac{2 a^{2} + 2 a c + c^{2}}{2}} \lor a + c \\ \frac{\sqrt{2 (a^{2} + a c) + c^{2}}}{\sqrt{2}} \lor (a + c) \\ \sqrt{2 (a^{2} + a c) + c^{2}} \lor \sqrt{2} a + \sqrt{2} c \\ \sqrt{2 (a^{2} + a c) + c^{2}} \lor \sqrt{2} {(\sqrt{a + c})}^{2} \\ 2 (a^{2} + a c) + c^{2} \lor 2 {(a + c)}^{2} \\ 2 a^{2} + 2 a c + c^{2} \lor 2 a^{2} + 2 c^{2} + 4 a c | - (2 (a^{2} + a c) + c^{2}) \\ 0 \leq c^{2} + 2 a c \\ ∴ то же верно для исходного ▪ \end{matrix}

Теперь докажем что функция минимального значения меньше всех пифагорийских средних (соответственно, min(a, b) ≡ min(a, a+c)=a).

\begin{matrix} ◽ \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{a + c}} \lor \min (a, a + c) \\ \frac{2 a (a + c)}{a + c + a} \lor a | \times (2 a + c) \\ 2 \times a^{2} + 2 a c \lor 2 a^{2} + a c | - a c \\ 2 a^{2} + a c \lor 2 a^{2} | - 2 a^{2} \\ a c \geq 0 \\ ∵ исходное имеет тот же знак ◽ \end{matrix}

Итак, получаем цепочку неравенств, связывающую все наиболее известные средние для двух положительных чисел:

M_{- \infty} \leq M_{- 1} \leq M_{0} \leq M_{1} \leq M_{2} \leq M_{+ \infty}

Здесь, конечно, уже можно заметить закономерность, которая сохраняется для любых средних степенных от одного любого набора чисел: $M_{i} (x_{1}, \dots, x_{n}) \leq M_{j} (x_{1}, \dots, x_{n}), где i < j$ . Причём, необходимое и достаточное условие для равенства средних - это равенство всех чисел в наборе. Для данного (гораздо более общего) утверждения доказательство требует оперирования другими более сложными понятиями, поэтому оно здесь (пока) не приводится. Это неравенство можно называть неравенством о средних.

Ту цепочку неравенств, которая записана выше, можно записать и в виде самих формул для двух положительных чисел:

\min (a, b) \leq \frac{2 a b}{a + b} = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \leq \max (a, b)

Именно это записанное выше утверждение и было здесь доказано. Этим легко можно пользоваться как опорным неравенством. Доказанное неравенство можно называть неравенством о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом, хотя в нём, конечно, задействованы не только эти средние (оно расширено), и оно также должно быть доказано для любого количества чисел в наборе, здесь же для наглядности оно доказано только для 2.

Простейшие неравенства с модулем

Кроме неравенства о средних при работе с неравенствами необходимы знания о модулях. При работе с модулями в неравенствах нужно хорошо понимать их геометрическую интерпритацию и определение. Вообще, при работе с неравенствами их визуализация на числовой прямой (или любая другая подходящая) очень полезна.

Модуль и его свойства

Итак, модуль числа - это расстояние от начала координат (в нашем случае, очевидно, 0) до числа. Также для вещественных чисел можно определить модуль как кусочно-линейную функцию $|x| = \{\begin{matrix} x, & x \geq 0 \\ - x, & x < 0 \end{matrix}$ . Модуль числа также называют его абсолютным значением (или абсолютной величиной). Модуль от числа a обозначается |a|.

Некоторые свойства функции модуля и её графика можно посмотреть на этой странице.

Область определения для вещественных чисел: D(x)=(+∞; -∞). Область значений для вещественных чисел: E(y)=[0; +∞). Является, всюду кроме 0 дифференцируемой, чётной функцией.

Конечно, понятие модуля можно обобщить и для комплексных чисел. Тогда формулой будет: |z|=|x+yi|=√(x²+y²). Модуль комплексного числа z – это расстояние от начала комплексной плоскости до точки, соответствующей числу z в этой плоскости. Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены. Понятие модуля, вообще, можно обобщить для очень большого количества расширений вещественных чисел. Можно сказать, что норма (Wikipedia) - это в некотором роде обобщение понятия модуля для векторных пространств.

Свойства модуля вещественного числа

|a| = √(a²) (очевидное, широко используемое свойство, относящееся скорее к свойствам квадратного корня; теоретически, так даже можно определить само понятие модуля вещественного числа; здесь можно заметить ещё одно "свойство" модуля, а точнее чётных степеней: так как они неотрицательны, то a^2k = |a|^2k)
|a| ≥ 0 (неотрицательность) - следует из определения
|a| = |-a| (чётность) - левая полуплоскость заменяется правой
|a| = 0 ⇔ a = 0 (положительная определённость)
|a||b| = |ab| (мультипликативность)
|a|/|b| = |a/b| (сохранение деления - эквивалент мультипликативности; b≠0)
|a+b| ≤ |a|+|b| (субаддитивность)
|(|a|)| = |a| (идемпотентность)
|a-b| = 0 ⇔ a = b (эквивалентность равенству - эквивалент положительной определённости; очевидный вывод из того, что |a-b| означает расстояние от a до b)
|a-b| ≤ |a-c|+|c-b| (неравенство треугольника - полный эквивалент свойства субаддитивности)
|a-b| ≥ |(|a|-|b|)| (обратное неравенство треугольника - эквивалентно свойству субаддитивности)
|ab|, a ≥ 0 ⇔ a|b| (постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля - тоже очевидное свойство, следующее из определения, также если подмодульное выражение неотрицательно, то модуль можно убрать)
|a^k| = |a|^k (подразумевается, что a^k существует)
a ≤ |a| (само число либо больше, либо равно своему модулю; или a=|a|, или a отрицательно - тогда модуль противоположен ∴ больше; эквивалентно a≥-|a|)
|a| ≤ b ⇔ -b ≤ a ≤ b (где b ≥ 0)
|a| ≥ b ⇔ a ≤ -b ∨ a ≥ b (где b ≥ 0)

Итак, отсюда можно выделить 4 основных свойства модуля.

Неотрицательность: |a| ≥ 0 - Модуль числа всегда неотрицателен.
Положительная определённость: |a| = 0 ⇔ (модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда это число есть нуль.) a = 0 и предыдушее. Значения функции меньше нуля невозможны.
Мультипликативность: |a||b| = |ab| — Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел.
Субаддитивность: |a+b| ≤ |a| + |b| — Модуль суммы двух чисел не превосходит сумму модулей этих чисел.

Всегда важно помнить о чётности функции, которая фактически определяет модуль (или наоборот) - мы берём линейную функцию y=ƒ(x) и заменяем левую полуплоскость (x≤0) правой (x≥0).

Идемпотентность - тоже вполне занимательное и важное свойство. Термин идемпотентность - свойство математической операции, означающее, что её повторное применение даёт тот же результат, что и одинарное - сколько раз не применяй, результат остаётся инвариантен.

Модуль x равен не только квадратному корню из квадрата x. Например, рассмотрим одну из известных кусочно-постоянных функций, используемую для компактной записи знака числа - sgn(x). Она определяется так: $sgn (x) ≔ \{\begin{matrix} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ - 1, & x < 0 \end{matrix}$ (кстати, если представить её график, то можно сразу понять, что она нечётная). С этой функцией можно сделать вывод: |x| = x × sgn(x). Ещё переопределить модуль можно через каждому известную функцию max(x, y), которая здесь уже обсуждалась. Тогда: |x| = max(x, -x).

Фактически, модуль разности двух чисел a и b равен расстоянию между точками координатной прямой с координатами a и b. В некотором роде, можно понять, что озвученное определение модуля (геометрическое и наиболее полное) является частным случаем этого определения. Это |a-b| могут назвать также иногда абсолютной разницей. Значит, в целом, абсолютная разница представляет собой расстояние. Модуль очень тесно связан с идеей расстояния.

Простейшие неравенства с модулем и числовая прямая

Свойства модуля под номерами 14 и 15 хотелось бы разобрать отдельно. По сути, эти свойства означают, что модуль x разбивается на систему и совокупность неравенств.

Рассмотрим их подробнее. Сначала |a| ≤ b ⇔ -b ≤ a ≤ b. В свойстве записано b ≥ 0. Почему же это верно? Собственно говоря, если b ≤ 0, то ∴ |a| ≤ 0, однако, по основному свойству модуля - неотрицательности (свойство 1) a, удовлетворяющих неравенству, не существует - поэтому оно не имеет смысла.

При решении, доказательстве и формировании неравенств можно определённо пользоваться всеми приведёнными выше свойствами и опорными неравенствами. Говоря об опорных неравенствах и сведении других неравенств к ним (или наоборот) для доказательства, такой подход можно назвать систематическим методом решения неравенств. Он тоже часто используется в доказательствах. Его суть - вывод необходимого (искомого) неравенства из известных (опорных) путём определённых преобразований (конечно, здесь обычно пользуются всеми свойствами неравенств). Примером хороших опорных неравенств с модулями может служить этот достаточно простой: a²+b² ≥ 2|ab|

Графическое решение неравенства модуль x меньше или равен a — Графическое решение неравенства *|x| ≤ a (a≥0)*

Но, собственно, как доказать само данное неравенство, и, возвращаясь к исходному "свойству" 14, как доказать его - и притом сделать это быстро, наглядно, логично, ни на что не опираясь. Здесь то и помогает геометрическая интерпретация. Вообще, геометрическое решение неравенств (особенно сложных) можно назвать методом интервалов. Метод интервалов - это метод раскрытия модулей, используя числовую прямую - через визуализацию интервалов (см. определение интервала и его обозначения). На самом деле, метод интервалов обозначает немного другое, но об этом не здесь. Данное графическое решение любой может сам вывести, памятуя об определении (геометрической интерпретации) модуля.

\begin{matrix} |x| \leq a \\ \{\begin{matrix} x \leq a \\ x \geq - a \end{matrix}  \end{matrix}

Графическое решение неравенства модуль x больше или равен a — Графическое решение неравенства *|x| ≥ a (a≥0)*

Также можно разобрать номер 15, используя числовую прямую. Итак, неравенство |x| ≥ a, a ≥ 0, сводится к совокупности неравенств.

\begin{matrix} |x| \geq a \\ [\begin{matrix} x \leq - a \\ x \geq a \end{matrix}  \end{matrix}

Выражения с переменной под модулям всегда неотрицательны (свойство 1), поэтому их можно раскрывать. Например, |x-5| ≥ 7. Тогда раскроем модуль: либо при x<-5 -x+5 ≥ 7, либо при x≥-5 x-5 ≥ 7. Для этого и нужна числовая прямая.

Для модуля |x+a|, где x - переменная, а a - число, можно сделать такую заготовку для "метода интервалов": иллюстрация есть с подписью "|x+a|".

Тогда для большего количества модулей в неравенстве будет большее количество интервалов ∴ неравенство раскроется с бОльшим количеством случаев.