Числовые неравенства

Как в науке, так и в реальной жизни часто приходится сравнивать два каких-то числа. Иногда без этого нельзя даже говорить о значении вычислений. Допустим, используя числовые неравенства, можно найти приближённое значение иррациональных квадратных корней, оценить значение переменной. Говоря о числовых неравенствах, следует прежде всего указать, что между двумя числами есть всего три рода возможных взаимосвязей - соотношений: они могут быть равны (a = b), a может быть меньше b (a < b), a может быть больше b (a > b) (конечно, при a≠b можно также говорить о разнице между величинами: например, если a сильно (на несколько порядков) больше чем b, то это даже можно обозначить специальным символом », что показывает интерес людей именно к разнице, хотя, конечно, обычно уже интересует именно конкретная величина). Результат сравнения и записывают в виде равенств или неравенств. Для нескольких чисел можно использовать последовательность (цепочку неравенств) в порядке убывания, возрастания или системы неравенств. Вообще, неравенства часто используются в математике, и также важны как и равенства. Примером их использования также будет неравенство треугольника в геометрии, по которому можно оценить, существует ли треугольник с данными сторонами.

Фактически, неравенства - это утверждения об относительной величине какой-либо переменной, числа. Неравенства, которые разобраны выше подразумевают, что оцениваемая величина не может быть равна числу, относительно которого оценивается, но это, явно, не всегда верно.

Также нужно заметить, что кроме строгих неравенств (говорят, a строго больше b, a строго меньше b), есть и нестрогие неравенства (a меньше или равно b, a больше или равно b). Они используются, когда доподлинно неизвестно равны величины или меньше друг друга, равны величины или больше друг друга и т.д. Например, когда нужно купить, что-то в магазине, очевидно, можно купить продуктов на сумму меньшую или равную деньгам, которые взяты с собой (S≤M). Кроме больше или равно и меньше или равно, что является и названиями знаков, можно также говорить не меньше чем и не больше чем.

Здесь ещё можно добавить, что если использовать нестрогие неравенства там, где можно использовать строгие, не доводить расчёты до конца, оставлять, например, x > 2, когда известно, что x > 3, то подобные неравенства будут неточными. Точным неравенством называется неравенство, которое нельзя "улучшить", т.е. использующее и учитывающее всю доступную информацию. Конечно, логичнее всегда делать свои неравенства точными.

Последний случай, который следует разобрать - это совокупность неравенств, когда есть несколько возможных вариантов для одной величины и выполняется либо один, либо другой.

К слову о доказательстве неравенств и об определении знака в неравенстве, определить больше одно число другого, меньше или равно ему, можно используя понятия чисел и их визуализаций на координатной прямой (она является наглядным образом множества всех вещественных чисел ℝ).

Пусть a больше b, тогда очевидно, что на координатной (числовой) прямой (обычной, с положительным направлением слева на право) точка, представляющая число a, будет правее точки, представляющей число b. Это значит, что a = b + c, и c является положительным числом (продвижение по числовой прямой вправо соответствует прибавлению положительного числа). Получается (по определению разности), a-b = c.

Пусть a меньше b, тогда поступаем аналогично - на координатной прямой точка a лежит левее точки b. Значит, также b = a + c (c положительным c). Следовательно, при вычитании получаем: a-b = -c. Т.е. a-b = p, где p - отрицательное число.

Тогда для нестрогих неравенств знаки сменятся на знаки нестрогого равенства (добавится возможность для c быть равным 0).

Подобный способ решения неравенств (где разность чисел сравнивают с нулём) можно называть метод оценки знака разности. Он основан на определениях a<b и a>b, записанных выше.

Свойства неравенств

1. Если a ≥ b, то b ≤ a и наоборот (обратное отношение, которое понятно уже интуитивно). Доказательство: ◽ a ≥ b ⇒ a-b ≥ 0; b-a= -(-b+a) = -(a-b) и (a-b) ≥ 0 ⇒ -(a-b) ≤ 0 ⇒ b ≤ a Q.E.D. (обратное утверждение и свойство для строгих равенств доказываются аналогично) ◽
2. Если a ≥ b и b ≥ c, то a ≥ c (свойство транзитивности - один из основных приёмов при работе с неравенствами, равенствами как строгими, так и нестрогими; опять же, интуитивно и известно каждому, можно применять как математическую индукцию и для записи цепочки неравенств). Если хотя бы одно из начальных условий строгое неравенство, то выводом будет строгое неравенство. Доказательство: $◽a-c=a-c+b-b=\left(a-b\right)+\left(b-c\right)\text{,}\text{где}\left(a-b\right)\ge 0\text{(по условию)}\text{и}\left(b-c\right)\ge 0\text{(по условию)}\Rightarrow a-c+b-b\ge 0\Rightarrow a-c\ge 0\Rightarrow a\ge c◽$ (доказательство для других знаков аналогично; нужно помнить, что равенства - это особый случай нестрогих неравенств).
3. Если a ≥ b и c ∈ ℝ, то a+c ≥ b+c (для неравенств определено и прибавление к, и вычитание из обеих частей; то же для знака меньше и нестрогих неравенств с аналогичным доказательством). Доказательство: $◽\left(a+c\right)-\left(b+c\right)=a+c-b-c=a-b\text{и}\left(a-b\right)>0\Rightarrow a+c>b+c◽$
4. Если a ≥ b и c > 0, то ac ≥ bc (возможно умножение и деление на ненулевое c; аналогично для других знаков неравенств). Доказательство: $◽ac-bc=c\left(a-b\right)\text{,}\text{где}\left(a-b\right)\ge 0\text{и}c>0\Rightarrow ac\ge bc◽$
5. Если a ≥ b и c < 0, то ac ≤ bc (свойство противоположных чисел, например (такое же свойство работает для ненулевых обратных чисел одинакового знака); кроме аналогично для других знаков заменяется на противоположный). Доказательство: $◽ac-bc=c\left(a-b\right)\text{,}\text{где}a-b\ge 0\text{и}c<0\Rightarrow ac\le bc◽$
6. Если a ≥ b и c ≥ d, то a+c ≥ b+d (возможность почленного сложения двух неравенств одинакового смысла; аналогично для других знаков). Доказательство: $◽\left(a+c\right)-\left(b+d\right)=a+c-b-d=\left(a-b\right)+\left(c-d\right)\text{,}\text{где}\left(a-b\right)\ge 0\text{и}\left(c-d\right)\ge 0\Rightarrow \left(a+c\right)-\left(b+d\right)\ge 0\Rightarrow \left(a+c\right)\ge \left(b+d\right)◽$
7. Если a ≥ b > 0 и c ≥ d > 0, то ac ≥ bd (возможность почленного перемножения двух положительных неравенств одинакового смысла; аналогично можно складывать со всеми знаками: меньше (или равно) и больше). Доказательство: $◽ac-bd=ac-bd+bc-bc=c\left(a-b\right)+b\left(c-d\right)\text{,}\text{где}c>0\text{;}b>0\text{;}\left(a-b\right)\ge 0\text{;}\left(c-d\right)\ge 0\Rightarrow c\left(a-b\right)+b\left(c-d\right)\ge 0\Rightarrow ac\ge bd◽$
8. Если a ≥ b > 0 и n ∈ ℕ, то aⁿ ≥ bⁿ (как и для всех других правил и свойств, здесь разобранных, знак больше или равно можно заменять на другие; из доказательства можно увидеть, что обратное тоже верно; см. также свойства степеней с целым показателем). Доказательство: $◽a^n\ge b^n>0\iff \left\{\text{n раз}\left(\begin{array}{c}a\ge b\\ a\ge b\\ \dots \\ a\ge b\end{array}\right|\ast \right. \stackrel{\text{по свойству 7}}{\to }\text{при}a\ge b>0\text{и}n\in \mathbb{N}{a}^n\ge b^n\text{(и наоборот)}◽$
9. Если aⁿ ≥ bⁿ при a > 0 и b > 0 и n ∈ ℕ, то a ≥ b. Доказательство: $◽\text{см. предыдущее доказательство}◽$
10. Два предыдущих свойства были для натуральных степеней, но для дробных степеней тоже есть подобные свойства: см. свойства квадратного корня (обратное данной там теореме тоже верно).

Вообще, здесь нужно сказать о том, что в общем случае при применении монотонной функции к обеим частям неравенства, если она возрастающая, то неравенство держится, иначе, неравенство меняет знак на противоположный. В свойствах примером этой смены знака были обратные и противоположные числа для положительных a и b (ƒ(x)=-x и g(x)=1/x). Поэтому, на самом деле, возведение в натуральную степень - это строго возрастающая функция, а возведение в отрицательную целую - это строго убывающая функция (подпадающие под данное здесь правило). Хотя, конечно, со многим из этого и из свойств есть сложности, поэтому лучше всего применять всё это для положительных чисел.

Также допустим при решении квадратных уравнений, а точнее при определении дискриминанта квадратного трёхчлена и оценке корней по нему, были упомянуты комплексные числа. Для комплексных чисел нельзя определить соотношение ≤ так, чтобы их поле стало упорядоченным.