Квадратный корень из произведения, дроби и степени. Вынесение множителя из-под знака корня, внесение под знак корня. Функция y = √x и её график

Арифметический квадратный корень

График функции арифметического квадратного кореня — График функции арифметического квадратного корня - `y` = √`x`

В ходе этой темы под квадратным корнем будет всегда подразумеваться лишь арифметический, если не указано обратное (узнать больше о квадратном корне и тонкостях его точного определения).

Свойства квадратного корня

При работе с квадратным корнем можно пользоваться его определёнными свойствами, перечисленными ниже.

Теорема 1

Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей (множителей может быть любое число). $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \forall a \geq 0, b \geq 0$ . Из доказательства очевидно, что его можно легко расширить, и свойство является частным случаем свойства арифметического корня n-ой степени - решения уравнения xⁿ=a (в целом, тоже верно и для второго и третьего свойства).

Доказательство (для удобства возьмём два множителя, хотя то же верно для любого количества).

◽ {(\sqrt{a} \times \sqrt{b})}^{2} = {(\sqrt{a})}^{2} \times {(\sqrt{b})}^{2} = a b ◽

Теорема 2

Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (Конечно, подразумевается, что а≥0 и b>0; однако, важно помнить, что b именно строго больше 0, а иначе дробь не будет иметь смысла, т.к. деление на ноль не определено).

Доказательство (конечно, мы опять берём существующую положительную дробь, чтобы выражение имело смысл).

◽ {(\sqrt{\frac{a}{b}})}^{2} = \frac{a}{b} и {(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})}^{2} = \frac{{(\sqrt{a})}^{2}}{{(\sqrt{b})}^{2}} = \frac{a}{b} \Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} ◽

Теорема 3

При любом значении a и натуральном k верно равенство $\sqrt{a^{2 k}} = |a^{k}|$

Доказательсво. Пусть k=0 для начала, докажем

\sqrt{a^{2}} = |a|

Это очевидно верно, так как арифметический корень не может быть отрицательным. Применим данное тождество (полезное часто при извлечении корня из выражений с переменными и т.д.) к

\sqrt{a^{2 k}}

, где k ∈ ℕ, получим:

◽ \sqrt{a^{2 k}} = \sqrt{{(a^{k})}^{2}} = |a^{k}| ◽

Ещё одно свойство или скорее теорема, связанная с неравенствами, рассматривается на этой странице.

О некоторых других свойствах арифметических корней

Надо отметить, что для арифметических корней n-ой степени будет также верно следующее: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[n m]{x}$ , поэтому $\sqrt{\sqrt{x}} = \sqrt[4]{x}$ (что является достаточно интуитивным). Расширить все выше приведённые доказательства для корней n-ой степени нетрудно, но они для упрощения здесь специально не берутся.

Вынесение и внесение множителя из-под и под знак корня

Кроме перечисленных выше и нескольких очевидных операций из-под знака корня можно выносить числа, переменные и т.д. Это можно делать, используя первую теорему для выделения множителя, который является квадратом. Пример: $\sqrt{8} = \sqrt{2^{3}} = \sqrt{2^{2} \times 2} = \sqrt{2^{2}} \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ .

Как уже было выяснено, можно выносить множители из-под корня, но, конечно, существует и обратное действие - внесение множителей под корень. Пример: $3 \times \sqrt{5} = \sqrt{3^{2}} \times \sqrt{5} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{45}$

Функция y=√x

Wikipedia square root function graph — График квадратного корня (не арифметического) или функции квадратного корня f(x) и противоположной ей функции -f(x) из Wikimedia Commons, добавленный, чтобы показать всю параболу

Функция квадратного корня

f (x) = \sqrt{x}

есть на графике сверху страницы, является элементарной функцией. Квадратный корень из x имеет смысл при любом неотрицательном значении x ∴ любому неотрицательному числу соответствует единственное значение выражения. Значит, очевидно, y=√x задаёт функцию. Быстро возрастает до 0.5, потом медленнее. По сути, является половиной параболы, повёрнутой на 90° (см. график рядом). Поэтому её график тесно связан с графиком функции y = x², где x≥0. На графике ниже показана функция квадратного корня и связанные с ней.
Область определения: D(x)=[0; +∞) - в русских учебниках область определения записывается D(f).
Область значений: E(f)=[0; +∞).
Функция f(x) является монотонной - строго возрастающей. Точкой абсолютного минимума f(x) является 0. Нужно добавить, что в противовес квадратичной функции y=x², функция квадратного корня является субаддитивной - значение функции от суммы элементов всегда меньше либо равна сумме значений функции, применённой к каждому элементу по отдельности: √(x+y) ≤ √x + √y.

Функция квадратного корня, квадратная функция — Функция `x` = √`y` и функция `y` = `x`²