Числовые промежутки. Контекст. Определение

Равенство (уравнение) имеет одну точку на числовой прямой (хотя это точка зависит от проделанных преобразований и выбранного корня). Само решение уравнения будет числовым множеством (иногда состоящим из одного числа). Однако, всё это на числовой прямой (визуализации множества вещественных чисел) будет отображаться лишь точечно, но существуют также более обобщённые типы отношений между двумя числами - неравенства. В них числовая прямая разделяется некоторым числом и от неё отсекается определённая часть - значения выражения или числовой промежуток.

Тему числовых промежутков логично обсуждать вместе с неравенствами, но это отнюдь не означает, что она связана лишь с ними. Числовые промежутки (интервалы, отрезки, лучи) являются множеством значений переменной, удовлетворяющих некоему неравенству. То есть, по сути, это множество всех точек на числовой прямой, ограниченной какими-то рамками. Поэтому наиболее тесно связана тема числовых промежутков с понятием переменной. Там, где есть переменная, или произвольная точка x на числовой прямой, и её применяют, используют, есть и числовые промежутки, интервалы - значения x. Часто значение может быть любым, но это тоже числовой промежуток, охватывающий всю числовую прямую.

Введём понятие числового промежутка. Среди числовых множеств, то есть множеств, объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки. Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому с их помощью удобно записывать множество решений неравенства. Тогда как множеством решения уравнения будет не числовой промежуток, а просто несколько чисел на числовой прямой, с неравенствами, иначе говоря, любыми ограничениями значения переменной появляются числовые промежутки.

Числовой промежуток - это множество всех точек числовой прямой, ограниченное данным числом или числами (точками на числовой прямой).

Числовой промежуток любого вида (множество значений x, заключённых между некоторыми числами) всегда можно представить тремя видами математических обозначений: специальными обозначениями промежутков, цепочками неравенств (одним неравенством или двойным неравенством) или геометрически на числовой прямой. По сути, все эти обозначения имеют один смысл. Они дают ограничение(-я) для значений какого-то математического объекта, переменной величины (некоторой переменной, любого выражения с переменной, функции и т.д.).

Из вышесказанного можно понять, что так как можно по-разному ограничить область числовой прямой (есть разные типы неравенств), то и типы числовых промежутков бывают разные.

Виды числовых промежутков

Каждый тип числового промежутка имеет собственное название, особое обозначение. Для обозначения числовых промежутков используют круглую и квадратную скобку. Круглая скобка означает, что конечная, определяющая границу, точка на числовой прямой (конец) у этой скобки не входит во множество точек данного промежутка. Квадратная скобка означает, что конец входит в промежуток. С бесконечностью (с этой стороны промежуток не ограничен) используют круглую скобку. Иногда вместо круглых скобок можно писать квадратные, повёрнутые в обратную сторону: (a;b) ⇔]a;b[

Вид промежутка (название)	Геометрическое изображение (на числовой прямой)	Обозначение	Запись с помощью неравенств (для краткости всегда цепочками)
Интервал (открытый)		(a;b)	a < x < b
Сегмент (отрезок)		[a;b]	a ≤ x ≤ b
Полуинтервал (полусегмент)		[a;b)	a ≤ x < b
Полуинтервал (полусегмент)		(a;b]	a < x ≤ b
Луч		[a;+∞)	x ≥ a
Луч		(-∞;b]	x ≤ b
Открытый луч		(a;+∞)	x > a
Открытый луч		(-∞;b)	x < b
Множество всех чисел (на координатной прямой)		(-∞;+∞), хотя здесь следует указать конкретное множество-носитель алгебры, с которым производится работа; пример: ℝ	x ∈ ℝ (обычно говорят о множестве вещественных чисел, для представления комплексных чисел используют уже комплексную плоскость, а не прямую)
Равенство		[a;a] или x=a	x = a (частный случай нестрогого неравенства: a ≤ x ≤ a - интервал длины 1, где оба конца совпадают - отрезок, состоящий из одной точки)
Пустое множество		∅	Пустое множество тоже является промежутком - у переменной x нет значений (пустое множество). Обозначение: x∈∅⇔x∈{ }.

С названиями промежутков может возникнуть путаница: есть огромное количество вариантов. Поэтому лучше всегда точно их указывать. В англоязычной литературе используется только термин интервал ("interval") - открытый, замкнутый, полуоткрытый (полузамкнутый). Вариаций много.

С помощью промежутков в математике обозначается очень большое количество вещей: есть промежутки изоляции при решении уравнений, промежутки интегрирования, промежутки сходимости рядов. Промежутками принято всегда обозначать при при исследовании функции её область значений и область определения. Промежутки очень важны, например, есть теорема Больцано — Коши (можно узнать больше в "Википедии").

Системы и совокупности неравенств

Система неравенств

Итак, переменную x или значение некоторого выражения можно сравнить с какой-то постоянной величиной - это неравенство, но можно сравнивать это выражение с несколькими величинами - двойное неравенство, цепочка неравенств и т. д. Именно это было показано выше - как интервал и отрезок. И то, и то является системой неравенств.

Итак, если ставится задача найти множество общих решений двух или больше неравенств, то можно говорить о решении системы неравенств (также как с уравнениями — хотя можно сказать, что уравнения - это частный случай).

Тогда очевидно, что значение переменной, использованной в неравенствах, при котором каждое из них обращается в верное, называется решение системы неравенств.

Все неравенства, входящие в систему объединяют фигурной скобкой - "{". Иногда их записывают в виде двойного неравенства (как показано выше) или даже цепочкой неравенств. Пример типичной записи: $\left\{\begin{array}{c}f\left(x\right)\le 30\\ g\left(x\right)\ge 5\end{array}\right.$.

Решение систем линейных неравенств с одной переменной в общем случае сводится к вот этим 4 видам: $\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}x>a\\ x>b\end{array}\right. \text{(1)}\left\{\begin{array}{c}x>a\\ x<b\end{array}\right. \text{(2)}\left\{\begin{array}{c}x<a\\ x>b\end{array}\right. \text{(3)}\left\{\begin{array}{c}x<a\\ x<b\end{array}\right. \text{(4)}\end{array}$. Здесь предполагается, что b > a.

Любую систему можно решать графически с использованием числовой прямой. Там, где решения составляющих систему неравенств пересекаются и будет решение самой системы.

Представим для каждого случая графическое решение.

Итак, что же получается? В случае (1) решением является промежуток (a;+∞). В случае (2) решение - промежуток (a;b). Случай (3) - это пример открытого луча (-∞;a). В случае (4) же решения отдельных неравенств не пересекаются - система не имеет решений.

Далее, системы неравенств можно классифицировать как равносильные, если они имеют общее множество решений. Отсюда (как можно видеть выше) следует, что более сложные системы можно упрощать (например, используя геометрическое решение).

Фигурную скобку можно условно, грубо говоря, назвать эквивалентом союза "И" для неравенств

Совокупность неравенств

Однако, бывают и другие случаи. Так кроме пересечения множеств решений бывает их объединение: если ставится задача найти множество всех таких значений переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств, то говорят, что надо решить совокупность неравенств.

Итак, все неравенства в совокупности объединяют скобкой совокупности "[". Если значение переменной удовлетворяет хотя бы одному неравенству из совокупности, то оно принадлежит множеству решений всей совокупности. Также и с уравнениями (опять же их можно назвать частным случаем).

Если фигурная скобка - и, то скобка совокупности - это, условно, говоря простым языком, эквивалент союза "ИЛИ" для неравенств (хотя это, конечно, будет логическое или, включающее случай, удовлетворяющий обоим условиям).

Итак, решение совокупности неравенств - это значение переменной, при котором хотя бы одно неравенство, обращается в верное.

Множество решений, как совокупности, так и системы неравенств, можно определить через две основные бинарные операции для работы с множествами - пересечение и объединение. Множество решений системы неравенств - это пересечение множеств решений неравенств, её составляющих. Множество решений совокупности неравенств - это объединение множеств решений неравенств, её составляющих. Это тоже можно проиллюстрировать. Допустим у нас есть система и совокупность из двух неравенств. Множество решений первого обозначим A, а множество решений второго обозначим B. Прекрасной иллюстрацией будет диаграмма Эйлера-Венна.