Построение графиков. Элементарные преобразования графиков. Графики функций, связанные с модулем
Графики функций - это, по сути, преобразования графика y=x (самого элементарного). Если говорить о функциях, то у них каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции. Эта страница (в общем) касается именно числовых функций - функций над числовыми множествами. Под графиком функции обычно подразумевается её график (графическая визуализация, которая даёт представление о её геометрическом образе) в декартовой системе координат (прямолинейной и прямоугольной системе координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости с одинаковыми масштабами по осям).
Можно быстро ввести всем известное понятие графика функции. График функции (ƒ) - это геометрическое место точек (здесь обсуждаются лишь двумерные графики на плоскости), абсциссы (x) и ординаты (y) которых связаны функцией: точки c координатами (x;y) располагаются на графике только тогда, когда y=ƒ(x). А вообще, график функции ƒ - это графическое представление (линейная диаграмма) коллекции всех пар (x, ƒ(x)).
Рассматривать графики функций имеет смысл, начиная с линейных функций (функций вида y = kx + b). У линейных функций графики - прямые. Это очевидно, так как это график функции y=x, где аргумент умножается на число, а далее к функции прибавляется число. Для построения графика линейной функции достаточно двух любых точек (пар значений аргумента и функции) - это очевидно следует из геометрии.
Преобразования для построения y=kx+b:- y = x
- y = kx ⇔ x умножается на k - это прямая пропорциональность
- y = kx + b ⇔ к y прибавляется b
Рассмотрим данные преобразования, и что они означают. Но, прежде - преобразовывать можно не только линейные функции, но и параболы и т.д. Поэтому следовало бы кратко рассмотреть такие элементарные функции, как y=√x, y=x² и т.д. Функции с модулем здесь заслуживают отдельного внимания и рассматриваются чуть ниже.
Также элементарными функциями являются, конечно, тригонометрические, но они здесь не обсуждаются, как и тригонометрия в целом. Ещё следует рассмотреть кубическую функцию и функции корней, а также другие степенные функции и т.д. Но они все похожи, просто точно также преобразовываются, а эта страница о самих преобразованиях. Поэтому они здесь не рассматриваются. Зная элементарные функции и преобразования, можно легко построить почти любой график.
Элементарные преобразования графиков функций
y = kf(x)
При умножении функции f(x) на k происходит пропорциональное сжатие/растяжение изначальной функции. Умножение на -k это отражённое по Oy умножение на k.y = f(x+a)
При прибавлении к аргументу функции f(x) a происходит сдвиг на -a по оси Ox. Это верно, т.к. мы каждое значение функции для тех же значений аргумента меняем на значение для аргумента плюс a, что означает, что, проще говоря, для того же значения функции нужно на a меньшее значение аргумента, поэтому и сдвиг.y = f(x)+a
При прибавлении к функции f(x) a происходит сдвиг на +a по оси Oy. Это верно, т.к. мы прибавляем к функции ∴ функция увеличивается для того же аргумента, поэтому сдвиг.y = f(-x)
При смене знака аргумента f(x) график отражается относительно Oy. Для той же функции ставится в соответствие значение аргумента с противоположным знаком, поэтому происходит отражение.y = -f(x)
При смене знака функции f(x) график отражается относительно Ox. Для того же аргумента знак функции меняется, поэтому происходит отражение.Функция y = |x| и преобразования связанные с модулем
Функция y=|x| (y равен модуль х) на чертеже. Также как со сменой знака и умножением на -1 происходит отражение графика, так и при добавлении модуля происходит замена и отражение полуплоскостей. Действия с модулем наиболее, пожалуй, интуитивны. Свойства модуля можно посмотреть на этой странице.
Преобразование для модуля f(x) — |f(x)|
Если поставить модуль на функцию, происходит отражение нижней полуплоскости вверх (каждое отрицательное значение функции заменяется противоположным).
Преобразование для модуля x f(x) — f(|x|)
Если поставить модуль на аргумент функции, происходит замена левой полуплоскости симметричной правой (каждое отрицательное значение аргумента внутри функции заменяется положительным ∴ отрицательному значению будет соответствовать то значение функции, которое соответствовало противоположному).
