Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения. Квадратичная функция и её свойства.

Определение квадратного уравнения

График квадратичной функции — Парабола - график функции `y` = `x`²

Квадратное уравнение - это уравнение вида ax²+bx+c=0, где а не равно нулю.

a x^{2} + b x + c = 0, где a \neq 0, x - переменная

Выражение слева в уравнении будет многочленом, а точнее, квадратным трёхчленом.

Также приведённым называют квадратное уравнение, где старший коэффициент a равен единице.

Уравнение, в котором все коэффициенты отличны от нуля, называется полным.

Уравнение, в котором хотя бы один коэффициент (конечно, кроме старшего) равен нулю, соответственно, называют неполным.

Одним из важнейших понятий при решении квадратных уравнений является квадратный корень. Решать квадратные уравнения можно методом выделения полного квадрата, через дискриминант или по теореме Виета через коэффициенты (хотя для решения через Виета уравнение должно быть приведённым, но, если это не так, этого можно легко добиться путём деления всего уравнения на старший коэффициент).

Далее обсудим виды квадратных уравнений. Неполных квадратных уравнений есть 3 вида (так как есть всего три набора для 2 коэффициентов, где хотя бы один равен 0). Полное квадратное уравнение решается уже сложнее (подробнее о решении по ссылкам выше).

Неполные квадратные уравнения

b = 0
c ≠ 0

\begin{matrix} a x^{2} + c = 0 \\ x^{2} = - \frac{c}{a} \\ - \frac{c}{a} < 0 - нет корней в ℝ \\ - \frac{c}{a} > 0 - x = \pm \sqrt{\frac{- c}{a}} \end{matrix}

b ≠ 0
c = 0

\begin{matrix} a x^{2} + b x = 0 \\ x (a x + b) = 0 \\ [\begin{matrix} x = 0 \\ a x + b = 0 \end{matrix}  \\ [\begin{matrix} x = 0 \\ x = - \frac{b}{a} \end{matrix}  \end{matrix}

b = 0
c = 0

\begin{matrix} a x^{2} = 0 \\ x = 0 \end{matrix}

Как видно из записей выше, для нахождения корней всех 3-ёх видов неполных квадратных уравнений есть свои формулы. Выводятся они крайне быстро.

Квадратичная функция

При обсуждении квадратных уравнений логично также написать и о квадратичной функции, ибо квадратные уравнения (как полные, так и неполные) задают квадратичную функцию. Зная её свойства и график, можно говорить о многих полезных свойствах квадратных уравнений, поэтому она может даже быть полезна при их решении.

Итак, квадратичная функция - очевидно, что каждому значению аргумента соответствует одно значение функции (определение понятия функция). Возьмём простейшую квадратичную функцию y = x², чтобы лучше разобраться в свойствах квадрата. Помня, что квадрат числа всегда неотрицателен:

Область определения: D(x) = (-∞; +∞).
Область значений: E(y) = [0; +∞).
Абсолютный минимум: точка 0.
y(x) является чётной функцией (область определения симметрична относительно нуля, график симметричен относительно Oy, и f(-x)=f(x)-очевидно). Также нужно понимать, что y(x) - супераддитивна. Иначе говоря, значение функции, применённой к сумме больше либо равно сумме значений функции, применённой к каждому слагаемому по отдельности: (x+y)² ≥ x² + y²

Конечно, y(x) связана с функцией квадратного корня (подробнее).

Итак, обозначим функцию f(x) = ax²+bx+c. Здесь от знака старшего коэффициента зависит вид параболы - ветвями вверх при a>0 и ветвями вниз при a<0, что логично (так при умножении на -1 график отражается по оси Oy). Также от a зависит кривизна и сжатие/расширение графика. Свободный член c является точкой пересечения графика функции с осью ординат (это очевидно, так как график функции пересекает Oy в точке, где аргумент равен 0: если аргумент равен 0, то f(x)=0+c ⇒ f(x) = c, и точка пересечения с Oy - (0, c)).

Для построения графика f(x) следует найти вершину параболы, а затем понять какая она (ветвями вверх или ветвями вниз). Ясно, что вершина параболы (которая будет абсолютным максимумом для параболы с ветвями вверх и абсолютным минимумом для параболы с ветвями вниз) будет также задавать ось симметрии параболы - прямая через вершину параллельная Oy будет осью симметрии параболы.

Поэтому требуется формула для нахождения вершины параболы (подробнее о методе выделения полного квадрата).

y = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) = a (x^{2} + \frac{2 b}{2 a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{c}{a}) = a ({(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{c}{a}) = a {(x - (- \frac{b}{2 a}))}^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = a {(x - (- \frac{b}{2 a}))}^{2} + \frac{- D}{4 a}

x_{в} = - \frac{b}{2 a}; y_{в} = \frac{- D}{4 a}

Для нахождения вершины достаточно лишь формулы x-вершины x_в, так как y-вершину можно найти, просто подставив x_в в функцию. Как видно из наглядных графиков выше наибольший интерес представляет дискриминант (обозначенный здесь D), так как он является достаточно просто вычисляемым для многочлена с небольшой степенью (второй). Более подробно о дискриминанте и его значении рассказано на соответствующей странице, а также там более подробно рассказано об уже описанном здесь и о том, как используя дискриминант и коэффициенты можно быстро оценить корни квадратного уравнения. Следует также заметить, что по формуле корней квадратного уравнения с дискриминантом, можно вычислить расстояние от нулей функции до вершины и до оси симметрии. Дискриминант указывает и количество нулей параболы.

Итак, квадратичную функцию можно представить 3-мя удобными способами:

y=ax²+bx+c (стандартная форма)
y=a(x-x₁)(x-x₂) (факторизованная форма)
y=a(x+(b/2a))² - (4ac+b²)/4a (форма, показывающая вершину параболы)