Квадратный корень, применяемый для решения уравнений (алгебраический)

Квадратный корень - это корень 2-ой степени, решение уравнения x² = a, т.е. квадратный корень из числа - это число, которое в квадрате (2-ой степени - см. свойства и определение степени) даёт исходное подкоренное выражение. Записывается: √x. Операцию по нахождению квадратного корня называют его извлечением. Корень, применяемый для решения квадратных уравнений, имеет два противоположных значения.

Корни чётной степени определены, вообще говоря, неоднозначно, и этот факт создаёт неудобства при их использовании.

Арифметический квадратный корень

Чтобы сделать значение корня однозначным в математике вводится понятие арифметических корней. Арифметический квадратный корень обозначается также как и обычный (алгебраический) - знаком радикала (√). Таким образом, арифметический корень, в отличие от ранее определённого (алгебраического), определяется только для неотрицательных вещественных чисел, а его значение всегда существует, однозначно и неотрицательно. Например, квадратный корень из числа 4 имеет два значения: 2 и -2, из них арифметическим является первое.

Проще говоря, арифметическим квадратным корнем из числа m называется неотрицательное число, квадрат которого равен m.

Арифметический корень имеет ряд полезных свойств. Его подкоренное выражение не может являться отрицательным, иначе запись не будет иметь смысла.

Следует упомянуть о геометрическом значении извлечения квадратного корня: это нахождение стороны квадрата по его известной площади.

Итак, как видно из текста выше, есть два конфликтующих определения квадратного корня, которые люди подразумевают под этим словосочетанием в определённых контекстах, и их очень важно различать. Так, при решении уравнений люди имеют в виду первое определение, а если корень уже присутствует в уравнении, то это второе определение. Вообще при однозначности, работе с функциями (да и чаще всего) имеется в виду (так удобнее) арифметический квадратный корень. И конечно, квадратный корень можно обозначить как плюс-минус арифметический квадратный корень: ±√x (если нужно им воспользоваться).

При обсуждении квадратного корня имеет смысл затронуть тему иррациональных чисел, так как корень из большей части чисел будет именно иррациональным.

Иррациональное число - это действительное число за пределами поля рациональных чисел, иначе, число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби m/n, где числитель - целое число, а знаменатель - натуральное. Поэтому при десятичной записи иррациональные числа не заканчиваются, а их дробная часть - не переодична. Необходимо также добавить, что большая часть действительных чисел (почти все) иррациональна (это вытекает из принципа Кантора, его диагонального метода, и нескольких теорем). В отличие от остальных числовых множеств, множество иррациональных чисел не имеет общепринятого обозначения; однако, иногда его можно обозначить так: $\overline{\mathbb{Q}}=ℝ\setminus \mathbb{Q}$.

Здесь для развития темы иррациональных чисел следует прибавить, что они, определённо, менее интуитивны и знакомы, чем обычные натуральные, целые и даже все рациональные (целые и дроби, которые изучаются с детства, и представить которые достаточно легко - отношения целых). Всем обычно лишь известно знаменитое иррациональное число π (часто встречающеюся в расчётах). Однако к иррациональным числам можно "прикоснуться": их можно представить, они встречаются в реальной жизни, а особенно квадратные корни. А, например, комплексные числа уже гораздо менее интуитивны, их нельзя так найти в реальном мире (к ним можно "прикоснуться", например, скорее на уровне микромира в квантовой механике). Чтобы лучше понять квадратные корни можно начать с того же квадрата со стороной 1 и его диагонали: он сразу открывает интересное свойство квадратных корней, которым многие иррациональные числа не обладают: отрезок, длина которого равна квадратному корню из двойки, можно построить с помощью циркуля и линейки. Казалось бы, что в этом занимательного? Задача построения фигур с помощью циркуля и линейки вообще является очень известной и интересует геометров уже очень долгое время. Возможность точного построения чего-либо — доказательство его существования и повышение удобства использования. А также корень из двух вовсе несоизмерим с другими числами - иррационален, поэтому может показаться, что это невозможно, но в действительности лишь с помощью циркуля и линейки можно легко построить отрезок длинной в квадратный корень из любого натурального числа. Все квадратные корни, а не только пресловутый √2, связаны с длинами и пропорциями геометрических фигур. Известная во всём мире теорема Пифагора позволяет обнаруживать квадратные корни во множестве природных форм (от кристаллов и до растений). В течение долгого времени корень из двух был единственным известным иррациональным числом. Лишь примерно в 425 году до нашей эры в диалоге "Теэтет" Платон рассказывает, что его учитель впервые доказал иррациональность других корней (для сравнения доказательство иррациональности корня из двух приписывают пифагорийцам - приблизительно в 500х (может быть, где-то в 540-520) до нашей эры), а затем было придумано универсальное доказательство, приписываемое его другому ученику - Теэтету Афинскому. В честь этого самого учителя названа очень необычная геометрическая структура – спираль Феодора Киренского. Начиная с того же единичного квадрата с диагональю - возьмём его половину - прямоугольный треугольник со сторонами 1, 1 и корень из 2. Тогда корень из трёх будет диагональю треугольника со сторонами корень из 2 и 1 и т.д. Ряд чисел √n растёт в определённом порядке. Пропорции √n являются динамическими. У всех корней вообще много интересных геометрических свойств и применений. Этот параграф показывает, что корни и иррациональные числа очень "реальны", удобны и даже будничны. Ещё хотелось бы заострить внимание на том, что для построения отрезка с длиной численно равной произведению, частному и квадратному корню из длин заданных отрезков необходимо задание на плоскости построения единичного отрезка (отрезка длины 1), а извлечение корней из отрезков с иными натуральными степенями, не являющимися степенью числа 2, невозможны с помощью циркуля и линейки, что ставит квадратные корни в особое положение.

Квадратные корни всех натуральных чисел кроме точных квадратов являются иррациональными. Вообще, если квадратный корень не извлекается нацело, то он иррационален (Таэтет, как уже было сказано ранее).

Так как точное значение корней из неквадратов в привычном виде не записать, следует иметь представление об их приближённом значении.