Теорема Виета. Исследование корней квадратного уравнения по его дискриминанту и коэффициентам.

Когда говорят о квадратном уравнении, при его решении первое, что обычно приходит в голову - это нахождение корней по основной формуле корней квадратного уравнения или несколько других методов. Однако, решать некоторые квадратные уравнения можно гораздо быстрее и проще (даже устно) - через теорему Виета, а также значение корней можно быстро грубо оценить по коэффициентам и дискриминанту, через график квадратичной функции и т.д. На этой странице и обсуждаются способы устного решения, прикидки и оценки корней квадратного уравнения.

Теорема Виета

Теорема Виета формулируется так: если приведённое квадратное уравнение x²+px+q = 0 (ax², где a=1) имеет корни x₁ и x₂, то x₁+x₂ = -p и x₁x₂ = q, т.е. сумма корней равна числу обратному среднему (второму) коэффициенту, а их произведение равно свободному члену.

Доказательство (опирается на основную формулу квадратного уравнения).

\begin{matrix} ◽ x^{2} + p x + q = 0 \\ D = p^{2} - 4 q \\ [\begin{matrix} x_{1} = \frac{- p + \sqrt{D}}{2} \\ x_{2} = \frac{- p - \sqrt{D}}{2} \end{matrix}  \\ x_{1} + x_{2} = \frac{- p + \sqrt{D} - p - \sqrt{D}}{2} = - p \\ x_{1} x_{2} = \frac{(- p + \sqrt{D}) (- p - \sqrt{D})}{2 \times 2} = \frac{(p - \sqrt{D}) (p + \sqrt{D})}{4} = \frac{p^{2} - D}{4} = \frac{p^{2} - p^{2} + 4 q}{4} = q ◽ \end{matrix}

Теперь докажем обратное.

◽ x^{2} + (- x_{1} - x_{2}) \times x + x_{1} \times x_{2} = x^{2} - x {\times x}_{1} - x \times x_{2} + x_{1} \times x_{2} = x \times (x - x_{1}) - x_{2} \times (x - x_{1}) = (x - x_{1}) \times (x - x_{2}) \Rightarrow [\begin{matrix} x = x_{1} \\ x = x_{2} \end{matrix}  ◽

Также из доказательства выше можно сделать интересный вывод о представлении квадратного уравнения и о его разложении на множители. Во-первых, зная корни уравнения, его можно легко разложить на множители (как показано выше). Во-вторых, квадратное уравнение можно кроме как в стандартной форме представить в факторизованной форме. В-третьих, это даёт представление о более общем свойстве свободного члена (см. теорема Безу и её следствия).

Посмотрев на квадратное уравнение в стандартной форме, можно быстро устно посчитать корни по теореме Виета (если оно не является приведённым, то можно разделить каждый член на старший коэффициент a - для небольших чисел это тоже можно проделать в уме). Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни.

Чтобы определить знаки корней, можно делать так:

если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;
если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

Исследование корней по коэффициентам и дискриминанту

На предыдущих страницах была представлена квадратичная функция и её свойства, а также основная формула корней квадратного уравнения. На обеих страницах, однако, упоминается дискриминант квадратного трёхчлена (D=p²-4aq). Следует наконец разобраться в том, что такое дискриминант. Дискриминантом многочлена p(x) называется функция, задаваемая его коэффициентами и дающая информацию о природе его корней. Если точнее, то дискриминант - это произведение квадратов разностей корней многочлена, умноженное на старший коэффициент в степени на 2 меньше удвоенной степени многочлена. $D (p) = a_{n}^{2 n - 2} \prod_{i < j} {(α_{i} - α_{j})}^{2}$

D (p) = a_{n}^{2 n - 2} \prod_{i < j} {(α_{i} - α_{j})}^{2}, где α_{1} \dots α_{n} - все корни многочлена; и a_{n} - старший коэффициент.

Дискриминант обычно обозначают D. Также дискриминант можно обозначать буквой греческого алфавита дельта Δ.

Он связан с такими понятиями как результант. Имеет много применений и важных свойств. Причём, дискриминант - это многочлен со всегда целыми коэффициентами (независимо от того, какие берутся корни), симметричный относительно корней изначального многочлена. Очевидно, дискриминант равен 0 тогда и только тогда, когда уравнение имеет кратные корни. Однако, дискриминант приобрёл наибольшую известность именно в связи с квадратными уравнениями, так как он очень полезен при нахождении корней этих самых уравнений, и формула, по которой он вычисляется для многочлена с такой низкой степенью (лишь второй), является достаточно несложной.

Поэтому наиболее часто слово дискриминант используется со значением дискриминант квадратного трёхчлена. Итак, в дальнейшем, под дискриминантом здесь будет подразумеваться именно это (особенно, учитывая тему этой страницы).

Следует начать, как водится, с того, что у квадратного уравнения гарантированно есть 2 корня на поле комплексных чисел (это, конечно, следует из основной теоремы алгебры). Так как корня у рассматриваемого уравнения два, то для нас дискриминант - квадрат разности корней или разница между ними. Иначе говоря, по дискриминанту в данном случае можно судить о разнице между корнями и о расстоянии от вершины параболы до нулей квадратичной функции - корней уравнения. Также дискриминант - квадрат. Из этих рассуждений можно сделать вывод о том, что по дискриминанту возможно понять, какие корни у уравнения (картинка выше).

Выводы (в зависимости от значения дискриминанта есть 3 случая):

При D>0 у уравнения есть два действительных корня (разница между ними больше нуля). Зная разницу, сразу имеем представление о графике.
При D=0 у уравнения есть два совпадающих корня - иногда также называют корнем кратности или двукратным в данном конкретном случае (разность равна нулю, следовательно значения корней равные).
При D<0 (помня, что это квадрат, а корни по формуле вычисляются с дискриминантом под арифметическим квадратным корнем) у уравнения нет корней на множестве действительных чисел. У таких уравнений есть корни в расширении множества действительных чисел - на поле комплексных чисел.

Хотелось бы рассмотреть третий случай подробнее. При дискриминанте меньше 0 корней на множестве $ℝ$ нет. Это очевидно при первом взгляде на основную формулу корней или определение дискриминанта, так, имеет место быть квадратный корень из отрицательного числа. Именно для таких случаев множество вещественных (действительных) чисел ℝ можно расширить до комплексных чисел $ℂ$ .

Комплексное число (ударение на второй слог) - это число вида z=a+bi, где a,b ∈ ℝ и i ∈ ⅈ (представьте здесь большое I, так как это обозначение используется нечасто, и я не смог найти такого символа, i - это такая величина, для которой верно равенство i²=-1); a = ℜ(z) является вещественной частью z, и y = ℑ(z) является мнимой частью z. Если мнимая часть равна 0, то число является действительным (это частный случай комплексных чисел). Если же вещественная часть равна 0, то число является мнимым, а точнее чисто мнимым. Основной идеей здесь являются мнимые единицы. Как уже было сказано ранее, мнимая единица - это комплексное число, квадрат которого равен -1. Обычно обозначается i. Именно мнимые единицы позволяют расширить поле вещественных чисел до комплексных. Причиной расширения, если говорить об общем случае, является как раз то, что не все многочлены с вещественными коэффициентами имеют корни в поле вещественных чисел. Однако, на поле комплексных чисел уже все многочлены имеют хотя бы одно решение (основная теорема алгебры).

Итак, корень квадратного уравнения в рассматриваемом случае не может быть полностью вещественен. Формулу корней квадратного уравнения тогда можно записать так: $x = \frac{- b \pm ⅈ \sqrt{|D|}}{2 a}$ .

Кроме дискриминанта многое об уравнении и корнях можно сказать и просто, посмотрев на коэффициенты. Если квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.