Алгебраическая дробь. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. Деление дробей.

Дробь - есть число вида $\frac{a}{b}$ , где a - целое число, и b - натуральное число. Также и алгебраическая дробь - число вида $\frac{P}{Q}$ , где P и Q - многочлены, и P является знаменателем, а Q - числителем дроби. Является частным случаем рационального выражения. Пример алгебраической дроби: $\frac{y^{2} - 1}{y - 1}$

Смотреть также деление многочленов.

Основное свойство дроби

Пожалуй, самым важным свойством дроби является записанное ниже. Именно оно позволяет проделывать практически любые известные операции и преобразования над дробями.

Свойство: если умножить или разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число (отличное от 0), то значение дроби не изменится.

Иначе говоря: $\frac{a}{b} = \frac{a \times n}{b \times n} \forall n \neq 0$ .

То же, очевидно, применимо и к алгебраическим дробям, т.к. ясно, что умножение числителя и знаменателя на одно и то же число эквивалентно умножению числа на число, а потом делению на то же число, что является взаимно-обратными действиями ∴ взаимно уничтожают друг друга. Конечно, применение этого свойства к алгебраическим дробям является их тождественным преобразованием, что важно ∴ этим свойством всегда можно спокойно пользоваться.

Сокращение дробей

Важным вытекающим из основного свойства алгебраической дроби свойством является возможность её сокращения, т.е. деление числителя и знаменателя на число.

Пример:

\frac{x^{2} - x}{x^{2}} = \frac{(x^{2} - x) / x}{(x^{2}) / x} = \frac{x - 1}{x}

Приведение дробей к общему знаменателю

Алгебраические дроби (как и обычные) можно привести к общему знаменателю, используя основное свойство.

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Приведённые к общему знаменателю дроби можно складывать и вычитать. $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$

Это достаточно легко доказывается, если потребуется: обозначим две складывающиеся дроби l и m, тогда по определению частного: a=cl; b=cm и a+b = cl+cm=c(l+m). Подводя итог, имеем выражение a+b = c(l+m), тогда получается: (a+b)/c=l+m, Q.E.D.

Умножение дробей

Умножать дроби очень легко, перемножая числитель с числителем и знаменатель с знаменателем. $\frac{a}{b} \times \frac{c}{n} = \frac{a c}{b n}$

Опять же для быстрого исчерпывающего доказательства без каких-либо неинтуитивных понятий можно воспользоваться тем же трюком, что и для сложения дробей: обозначить дроби k и l. По определению частного: a=bk и c=nl. Теперь можно, перемножив левые и правые части данных равенств и применив переместительное и сочетательное свойства умножения, получить: ac = (bk)×(nl) = (nb)(kl) ∴ исходное перемножение дробей kl = ac⁄bn Q.E.D.

Возведение дроби в степень

Последовательное умножение дроби саму на себя - возведение в степень. Оно также возможно. Как именно возводить дробь в n-ую степень, легко понять, пользуясь правилом умножения дробей (возведение в степень есть последовательное умножение числа, переменной, многочлена самого на себя - см. свойства степени с целым показателем). ${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$

Деление дробей

Делить дроби тоже можно. Деление на дробь эквивалентно умножению на ту же дробь, где числитель и знаменатель поменяли местами. Деление на дробь - это умножение на дробь ей обратную. $\frac{a}{c} \div \frac{b}{d} = \frac{a}{c} \times \frac{d}{b}$

Для быстрого доказательства этого тождества (для всех чисел кроме 0 в знаменателе, конечно) можно уже даже обойтись без трюка, использованного выше (а просто воспользоваться остальными доказанными тождествами). $\frac{a d}{c b} \times \frac{b}{d} = \frac{a d b}{c b d} = \frac{a}{c}$ (значит, по определению частного изначальное выражение является тождеством).

Также одно очевидное свойство: если у дроби изменить знак числителя (или знаменателя) и знак перед дробью, то получится дробь ей тождественно равная. Однако этим иногда удобно пользоваться при различного рода преобразованиях, поэтому об этом не следует забывать.

При работе с рациональными дробями не обязательно обращаться к математическим выражениям другого рода, так как результаты всех перечисленных выше действий можно представить в виде рациональной дроби (что выше и показано).