Рациональные выражения. Деление многочлена на многочлен. Теорема Безу.

Для работы с многочленами (выражениями состоящими из переменных, коэффициентов, операций сложения, вычитания, умножения и возведения в неотрицательную степень) пользуются некоторыми особыми методами и формулами, включающими рациональные выражения, деление многочленов, теорему Безу и прочее. Вообще, на этой странице обсуждаются методы работы с алгебраическими дробями и делением многочленов.

Формулы сокращённого умножения

Для более быстрого решения задач, уравнений и т.д. люди пользуются специальными формулами, работающими для всех подобных случаев (являющимися тождествами). Данные выражения также называют формулами сокращённого умножения. Хотя их можно применять и просто для того, чтобы быстро умножать числа, без них нельзя обойтись в решении большей части задач с многочленами. Одно из их главных применений - разложение на множители, которое, например, часто требуется при решении уравнений и имеет множество других применений.

Вот наиболее часто встречающиеся и полезные из них:

(a-b)(a+b) = a²-b²
(a+b)² = a²+2ab+b²
(a-b)² = a²-2ab+b²
(a+b)(a²-ab+b²) = a³+b³
(a-b)(a²+ab+b²) = a³-b³
(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
(a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³

Бывают случаи, когда нужны и более сложные формулы, формулы для большего количества переменных и т.п. (хотя имея приведённые формулы в арсенале, математик легко (пусть и чуть за более долгое время) может прийти к большинству более сложных формул их последовательным применением). В основном здесь все формулы - это специальные случаи формулы бинома Ньютона (см. статью в Wikipedia по теме), известной ещё индийским и исламским математикам. Другие здесь приведённые формулы можно достаточно быстро механически получить через деление многочленов (приём, о котором здесь рассказано чуть ниже). Если точнее, при делении, например, (a³ + b³) на (a + b) получится, конечно же, (a² - ab + b²).

Рациональные выражения

виды алгебраических выражений — Виды алгебраических выражений

Для начала следует разобраться в элементарной терминологии. Выражение, состоящее из многочленов (без знаков радикалов), называется рациональным выражением. Рациональные выражения - это подвид алгебраических выражений (с которыми обычно и ведётся вся работа в алгебре). Рациональные выражения можно поделить на целые и дробные. Целые - это просто многочлены или многочлены, делённые на число отличное от нуля (если многочлен - часть уравнения, что бывает, когда, например, нужно найти его корни, то от такого деления легко избавиться, умножив обе части на делитель). Если же говорить о дробных выражениях, то алгебраические дроби называют рациональными дробями. Говоря простым языком, это выражения, содержащие операцию деления на выражение с переменной. Рациональная дробь - дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены. У дробных рациональных выражений есть одно очень существенное отличие от целых. Так как деление на ноль не определено, то дробные выражения будут иметь смысл не для всех значений переменных (знаменатель дроби не должен быть равен 0). Значения переменных, при которых выражения имеют смысл, называют допустимыми значениями переменных. Сумму, разность, произведение и частное рациональных дробей (благодаря основному свойству дроби) всегда можно представить в виде рациональной дроби. Рациональные дроби важны, они могут быть (как и просто многочлены), например, частью уравнений (см. решение дробно-рациональных уравнений). Итак, можно сказать, что рациональная дробь - это, по сути, многочлен, делённый на многочлен.

Иногда дробь можно превратить в один многочлен - с учётом ОДЗ, конечно (также иногда часть может не поделиться). В любом случае - деление многочленов является очень важным приёмом при работе с рациональными дробями. Прежде чем перейти к его рассмотрению, пример рациональной дроби: $\frac{x^{4} + 5 x^{2} + 3}{x^{5} - 1}$ (очевидно, будет иметь смысл при x≠1).

Деление многочлена на многочлен

Деление многочлена на многочлен - очень удобный и нужный приём при работе с ними, как уже говорилось выше. Возможность деления многочлена на многочлен - одно из следствий теоремы Безу. При делении многочленов всегда следует указывать область допустимых значений, так как их деление - нетождественное преобразование. Ещё раз - всегда при работе с рациональными дробями следует не забывать находить область допустимых значений переменных (это делается решением уравнения, где знаменатель дроби приравнивается к 0, соответственно именно корень(-и) уравнения будет(-ут) недопустимым(-и) значением(-и)).

P (x) = D (x) \times Q (x) + R (x) \Rightarrow \frac{P (x)}{D (x)} = Q (x) + \frac{R (x)}{D (x)}

Пример:

\frac{x^{3} - 2 x + 1}{x - 1} = x^{2} + x - 1

(здесь область допустимых значений: x≠1).

Теорема Безу

Теорема Безу вообще важна при работе с многочленами (как сама по себе, так и её следствия). Отдельного внимания было достойно деление многочленов, но теперь следует разобрать, откуда вытекает это свойство. Точная формулировка теоремы такова: остаток от деления многочлена P(x) на (x-a) равен P(a).

◽ P (x) = (x - a) \times Q (x) + R P (a) = (a - a) \times Q (a) + R = R ◽

Следствие 1

Если какое-то число x₁ - корень многочлена, то P(x₁)=0 и R=0.

Следствие 2

Если x₁ - целый корень приведённого многочлена P(x), то свободный член кратен x₁.