Определение степени с целым показателем. Свойства степени с целым показателем.

Степень с целым показателем - определение понятия степень

Возведение в (n-ую) степень — это очень часто используемая в математике бинарная операция, которая была первоначально определена для натуральных чисел, как умножение числа само на себя (n раз). Степень записывается как aⁿ, где возводимое в степень (умножаемое само на себя) число a называется основанием, а количество подобных множителей n называется показателем степени.

Наглядно натуральную степень можно показать так: $a^{n} = \underset{\underset{n раз}{⏟}}{\begin{matrix} a \times \cdot\cdot\cdot \times a \end{matrix}}$ . Это надстрочный индекс равный, количеству повторений числа в произведении. Соответственно, a¹ = a. Также принято брать a⁰ = 1 для любого a≠0 (сразу дополним множество натуральных до ℕ₀). Ноль в нулевой степени не определён. На самом деле, последнее утверждение является предметом обширных математических дебатов и потому наиболее интересным случаем степени с неотрицательным показателем. Надо сказать, что Коши первым показал - для лимита 0⁰ он точно является неопределённым. Либри придерживался точно противоположного мнения - 0⁰=1 всегда. Наконец, согласно Дональду Кнуту 0⁰ "должен быть" 1 - он различал само значение, которое равно 1, и неопределённый предел функции. Поэтому, в целом, этот спорный мат. объект можно оставить неопределённым, но общепринято для удобства часто можно спокойно брать 0⁰=1 - а иначе многие расчёты могут не сойтись. Именно поэтому в программировании, наверное, в любой программе 0⁰=1.

Итак, со степенью с натуральным (да и после небольшой оговорки насчёт 0⁰ – с любым неотрицательным) показателем всё ясно - это просто удобный способ сокращённо записать умножение числа самого на себя. Соответственно, степень с целым показателем часто используется для записи больших чисел, а особенно часто - степени десяти, умноженные на десятичную дробь (подобную запись числа (M×10ⁿ, где n - порядок число) называют экспоненциальной). Примером подобной записи будет служить обычная запись заряда одного электрона в физике: 1.6021766208(98)×10^-19 Кулон, хотя, говоря об обычности, можно записать приблизительно 1.602×10^-19К. Далее после возведения в степень "следует" операция тетрации - последовательное возведение в степень. Под этим утверждением здесь подразумевается, что экспоненцицию (возведение в степень) можно рассматривать в контексте других операций - сложения, умножения, вышеупомянутой тетрации, пентации, гексации — у всех этих операций, как можно заметить, есть много общего. Их вместе называют гипероператорами. Поэтому в парадигме гипероператоров возведение в степень можно логически вывести из умножения. Гипероператор каждого следующего порядка определяется рекурсивно как многократное применение предыдущего (b раз).

Рассмотрим подробнее последовательность из четырёх первых наиболее известных гипероператоров:

a^{(1)} b = a + \underset{\underset{b}{⏟}}{\begin{matrix} 1 + 1 + \dots + 1 \end{matrix}} = a + b - сложение

a^{(2)} b = \underset{\underset{b}{⏟}}{\begin{matrix} a + a + \dots + a \end{matrix}} = a \times b - умножение

a^{(3)} b = \underset{\underset{b}{⏟}}{\begin{matrix} a \times a \times \dots \times a \end{matrix}} = a^{b} - экспоненциация

a^{(4)} b = \underset{\underset{b}{⏟}}{\begin{matrix} a^{a^{a^{\dots^{a}}}} \end{matrix}} =^{n} a = a ⇈ b - тетрация

Таким образом, любые гипероператоры высших порядков уже очень сложно представить, записать, да и работать с ними непросто. Поэтому на примере записи тетрации (которая является итерационным возведением в степень) выше очевидно удобнее с большими числами использовать стрелочную нотацию Кнута. Стрелочная нотация неразрывно связана с последовательностью гипероператоров и возведением в степень - само возведение в степень и обозначается одиночной стрелкой (направленной вверх) ↑. Поэтому теоретически можно встретить запись вида a↑b=a^b, хотя так делают крайне редко, так как обычного обозначения для степени достаточно, но для каждой следующей итерации добавляется по стрелке и тут уже без подобной нотации не обойтись - особенно для всех гипероперторов после тетрации. (Побольше об этом можно почитать в знаменитых работах Дональда Кнута.)

Теперь записать последовательное возведение в степень не составит труда.

Всем также известно, что некоторые показатели степени имеют своё особое название из-за частого использования и т.д.: третья степень называется кубом, а вторая степень называется квадратом. Ещё кроме определённых степеней встречаются числа, часто возводимые в степень: есть степени двойки, имеющие широкое применение в информатике, программировании и т.д., и степени десятки, вообще широко используемые всеми (сознательно или бессознательно). На самом деле, очень важны степени чисел-оснований систем счисления. Ещё, например, особое внимание уделялось одно время числу 2^√2 - Гильберт обозначил одним из мировых вопросов математики, является ли данное число трансцендентным (позже было доказано, что является).

Дополнение степеней отрицательными - расширение до множества целых ℤ

Если n — целое отрицательное число и a≠0 (очевидное условие, так как деление на 0 не определено), то aⁿ = 1/(a^-n). Ясно, что 0 - очень особенное число, и для него отрицательных степеней нет - для него не расширить.

К этому достаточно легко прийти. Например, возьмём выражение (все числа неотрицательные целые) $\frac{k^{b}}{k^{2 b}} = \frac{1}{k^{b}}$ . А теперь для того же исходного воспользуемся известным свойством степени с неотрицательным показателем - a^m÷bⁿ = a^m-n. Получается: k^b÷k^2b = k^b-2b = k^-b. ∴ k^-b=1/(k^b).

Свойства степени с целым показателем

Легко расширив понятие степени для множества целых чисел, можно спокойно рассмотреть все свойства степеней с целым показателем (фактически, они, конечно, совпадают с уже знакомыми многим свойствами степеней с натуральными показателями). Опять же случай, где a = 0 исключается из степеней, обладающих данными свойствами - в любом случае, для него всё и так ясно.

a^maⁿ = a^m+n
a^m÷aⁿ = a^m-n
(a^m)ⁿ = a^mn
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
(a/b)ⁿ = (aⁿ)/(bⁿ)

Доказать данные свойства не составит труда. Водится начинать с начала, поэтому a^maⁿ = a^m+n, так как при m>0 и n>0 $\underset{\underset{n раз}{⏟}}{\begin{matrix} a \times \cdot\cdot\cdot \times a \end{matrix}} \times \underset{\underset{m раз}{⏟}}{\begin{matrix} a \times \cdot\cdot\cdot \times a \end{matrix}} = a^{n} a^{m} = a^{n+m}$ (получается при aⁿa^m, всего есть n+m чисел a, между которыми знаки умножения - иначе, a в степени n+m). Далее, при n>0 и m>0 (-m<0) aⁿa^-m=aⁿ*(1/(a^m))=aⁿ/(a^m) (a сокращаются - остаётся n+(-m) a) aⁿa^-m=a^n+(-m). Если же m<0 и n<0, то всё просто - это эквивалент первого случая, но в числителе дроби: $\frac{1}{\underset{\underset{- n}{⏟}}{\begin{matrix} a & \dots & a \end{matrix}}} * \frac{1}{\underset{\underset{- m}{⏟}}{\begin{matrix} a & \dots & a \end{matrix}}} = \frac{1}{\underset{\underset{- n - m}{⏟}}{\begin{matrix} a \times \dots \times a \end{matrix}}} = a^{n + m}$ .

Доказать второе свойство также не составит труда. При n>0 и m>0 (a^m)/(aⁿ)=a^ma^-n - первое свойство. При всех остальных m и n всё также (вытекает из первого). Иначе можно доказать, представив a^m÷aⁿ=a^x. Тогда согласно определению частного получается: a^x×aⁿ=a^m. Теперь опять же, воспользовавшись тождеством (1), a^x+n=a^m. Отсюда: x+n = m, x = m-n. Можно подставить в исходное: a^m÷aⁿ=a^m-n.

Теперь подлежит рассмотрению тождество (3). ${(a^{m})}^{n} = \underset{\underset{n}{⏟}}{\begin{matrix} \underset{\underset{m}{⏟}}{\begin{matrix} a \times \dots \times a \end{matrix}} & \times & \dots & \times & \underset{\underset{m}{⏟}}{\begin{matrix} a \times \dots \times a \end{matrix}} \end{matrix}} = \underset{\underset{m \times n}{⏟}}{\begin{matrix} a \times \cdot\cdot\cdot \times a \end{matrix}} = a^{m n}$ (a^m повторяется n раз - есть m множителей a, перемноженных n раз, или n*m множителей a). И т. д.

Немного о дробных показателях

Дробные показатели соответствуют корням (см. арифметический квадратный корень). Они являются решениями уравнения xⁿ=b