Нахождение приближённого значения квадратного корня. Метод оценки величины квадратного корня.

Квадратные корни по большей части иррациональны, поэтому как и все иррациональные числа их нельзя в точности записать, да и просто найти или представить их значение (хоть приближённое) не так просто. Однако, при работе с ними это, очевидно, необходимо, т.к. просто математический символ, не имеющий смысла ничего не даёт. Поэтому это бывает нужно (и даже часто) при решении задач, уравнений, использовании теоремы Пифагора (самый известный пример) с иррациональным корнями и решении неравенств.

Есть несколько методов для оценки величины квадратного корня, и часть из них перечислена ниже.

Вообще, для работы с любыми корнями с чётным показателем полезна эта достаточно интуитивная теорема: если a > b > 0, то √a > √b (см. также свойства арифметического квадратного корня). Докажем это.

Доказательство.

◽ Предположим, \sqrt{a} ≯ \sqrt{b} \Rightarrow \sqrt{a} \leq \sqrt{b} . Пусть \sqrt{a} = \sqrt{b} . Тогда {(\sqrt{a})}^{2} = {(\sqrt{b})}^{2} \Rightarrow a = b ∴ Есть противоречие. Пусть \sqrt{a} < \sqrt{b} . Тогда ∵ \{\begin{matrix} \sqrt{a} > 0 \\ \sqrt{b} > 0 \end{matrix}  ∴ {(\sqrt{a})}^{2} < {(\sqrt{b})}^{2} \Rightarrow a < b ∴ Есть противоречие. ∴ \sqrt{a} ≰ \sqrt{b} \Rightarrow \sqrt{a} > \sqrt{b} ◽

Теперь, используя одну лишь эту теорему, можно найти значение квадратного корня с точностью в любое количество знаков после запятой.

Так как для √2 здесь уже было доказано, что это - иррациональное число, и он является самым маленьким иррациональным корнем из натурального числа, то можно именно на его примере испытать метод оценки величины.

Сначала найдём два последовательных натуральных числа, в промежутке между которыми заключено значение √2. Очевидно, 1² < √2 < 2²

1^{2} < 2 < 2^{2} \Rightarrow 1 < \sqrt{2} < 2

Далее, начиная с 1 + 0.1, следует возводить числа 1.1, 1.2, 1.3,...1.9 в квадрат, пока не найдётся число, большее 2...

{1.1}^{2} = 1.21; {1.2}^{2} = {1.44}^{2}; {1.3}^{2} = 1.69; {1.4}^{2} = 1.96; {1.5}^{2} = 2.25 {1.5}^{2} > 2 \Rightarrow {1.4}^{2} < 2 < {1.5}^{2} \Rightarrow 1.4 < \sqrt{2} < 1.5

Итак, 1,4 и 1,5 - это приближённые значения корня из двух с недостатком и с избытком.

Теперь, чтобы найти более точное значение, следует поступить также с числами вида 1.4x, пока не встретится число, большее 2 и т.д.

{1.41}^{2} = 1.9881; {1.42}^{2} = 2.0164, т.е. {1.41}^{2} < 2 < {1.42}^{2} \Rightarrow 1.41 < \sqrt{2} < 1.42 . Далее {1.411}^{2} = 1.990921; {1.412}^{2} = 1.993744; {1.413}^{2} = 1.996569; {1.414}^{2} = 1.999396; {1.415}^{2} = 2.002225, т.е. {1.414}^{2} < 2 < {1.415}^{2} \Rightarrow 1.414 < \sqrt{2} < 1.415 . Далее {1.4141}^{2} = 1.99967881; {1.4142}^{2} = 1.99996164; {1.4143}^{2} = 2.00024449 т.е. {1.4142}^{2} < 2 < {1.4143}^{2} \Rightarrow 1.4142 < \sqrt{2} < 1.4143 . {1.41421}^{2} = 1.9999899241; {1.41422}^{2} = 2.0000182084, т.е. {1.41421}^{2} < 2 < {1.41422}^{2} \Rightarrow 1.41421 < \sqrt{2} < 1.41422 ... ∴ \sqrt{2} = 1.41421...

Есть и другие методы и приёмы для нахождения приближённого значения квадратного корня с заданной точностью, но из-за специфики иррациональных чисел все эти методы также достаточно трудоёмки. Например, существует итерационная формула Герона: $x_{n + 1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{a}{x_{n}})$ . Эта формула задаёт быстро сходящуюся к √a убывающую последовательность. Её доказательство здесь не приводится.

При нахождении приближённого значения корней, следует помнить о разложении на множители и о свойствах арифметического квадратного корня.